Вітаю Вас, Гість
Олімпіадні задачі

6 клас

     
1.
    
Довести, що серед шести будь-яких чисел знайдуться два, які при діленні на 5, дають однакову остачу.

2.     У класі 30 учнів. Під час диктанту один учень зробив 12 помилок, а інші – менше. Довести, що у класі є принаймні три учні, які зробили однакову кількість помилок.

3.     Дано 5 точок на площині, із яких ніякі 3 не лежать на одній прямій. Довести, що деякі 4 із них є вершинами чотирикутника.

4.     В ящику лежать 5 білих, 6 чорних і 7 червоних кульок. З ящика, не дивлячись, виймають одну кульку за іншою. Скільки кульок достатньо вийняти, щоб серед них виявилися кульки всіх кольорів?

5.     Було 5 аркушів паперу. Деякі з них розрізали на 5 кусків кожен. Потім деякі з одержаних кусків знову розрізали на 5 і так зробили декілька разів. Чи може у результаті виконання таких дій одержати 1975 кусків?

6.     У Плюшкіна був листок паперу. Він розрізав його на 4 частини, потім деякі із частин ще на 4 частини і т.д. Коли він підрахував кількість усіх частин, то їх виявилося 1986. Доведіть, що Плюшкін помилився у підрахунку.

7.     Джо зайшов у магазин  і купив: пляшку лимонаду за 30 центів, люльку за 9 доларів ( в доларі 100 центів), три пачки тютюну і 9 коробок сірників, ціни яких він не знав. Продавець назвав загальну суму – 10 доларів 60 центів, але Джо відразу сказав, що він помилився. Як Джо здогадався про це?

8.     Квадратна таблиця розміром 5х5 заповнена числами -1 і +1 так, що добуток всіх чисел, що стоять в одній строчці, від’ємний. Довести, що знайдеться такий стовпчик, що добуток чисел, які знаходяться у ньому, теж буде від’ємним.

9.     Доведіть, що сума двох послідовних непарних чисел ділиться націло на 4.

10.     Якою цифрою закінчується число 21999.

11.     Знайти останню цифру числа 91994.

Читати далі


7 клас

1.     У Чіпа, Дейла і Рокі було 12, 14 і 22 горіхи. Коли Чіп віддав Дейлу скільки горіхів, скільки було у Дейла, потім Дейл віддав Рокі стільки горіхів, скільки було Рокі, а Рокі віддав Чіпу стільки горіхів, скільки залишалося у Чіпа, то у всіх горіхів виявилося порівну. Скільки горіхів було у кожного спочатку?

2. Цифра десятків двозначного числа у 3 рази більша за цифру одиниць. Якщо ці цифри поміняти місцями, то отримане число буде меншим від даного на 54. знайти дане число.

3.     Задана послідовність 3, 8, 15, 24, 35. За яким правилом вона утворена? Яке число стоїть на 92 місці?

4.     Знайти двоцифрове число, яке при діленні на суму своїх цифр дає в частці третину суми своїх цифр.

5.     Знайти цифри сотень та одиниць числа 52*2*, якщо відомо, що воно ділиться на 36.

6.     У парусній регаті брало участь 86 чоловік на одно- та двопарусних яхтах. Екіпаж однопарусної яхти складається з 5 членів, екіпаж двопарусної – з 7 членів. Скільки яхт брало участь у регаті?

7.     На яку найбільшу кількість нулів може закінчуватися добуток трьох натуральних чисел, якщо їх сума дорівнює 407?

Читати далі


8 клас
  1. Доведіть, що довільну суму, більшу 7 коп., можна сплатити монетами вартістю в 3 коп. та 5 коп.
    Доведенння
    Суму в 8 коп, очевидно, можна спрлатити. Припустимо, що нам вдалося сплатити суму в х копійок вказаними монетами. Якщо серед них є монета в 5 коп, то замінимо її на дві монети по 3 коп і одержимо суму в (х+1) коп. Якщо ж всі монети суми по 3 коп, то їх не менше трьох і, замінивши три монети по 3 коп на дві монети по 5 коп, ми також збільщимо суму на 1 коп.
  2. Натуральне число n ділиться на 2 і на 9 та має 14 дільників (включаючи 1 та n). Знайдіть це число.
    Відповідь: 2*3*3*3*3*3*3
  3. Чи має рівняння 19а+86в=1986к розв'язок у простих числах?
    Розв'язання
    Ні. Просте число а - парне, бо 19а=1986к-86в, отже, а=2. Але тоді 43(в-к)=19(50к-1). Права частина рівності непарне число, тобто в і к різної парності і, отже, к=2, але 19*99 не ділиться на 43.
  4. В магазин привезли борошно в чотирьох мішках. У першому, другому і третьому мішках разом не менше 60 кг борошна, в першому, другому і четвертому разом - не більше 50 кг, в першому, третому і четвертому разом - не більше 40 г, а в другому, третьому і четвертому разом - не більше 30 кг. Скільки борошна в кожному мішку?

    Читати далі

9 клас
  1. Доведіть, що число 1+2+3+...+1986 не розкладається на суму квадратів двох цілих чисел.
    Доведення
    Візьмемо до уваги, що 1+2+3+...+1986=(1+1986)/2*1986=1987*993. Нехай існують такі цілі числа х та у, що 1987*993=х*х+у*у. Оскільки 1987*993 - число непарне, то одне з чисел повинно бути парним, а друге - непарним. тоді число х*х+у*у при діленні на 4 дає остачу 1, а число 1987*993 при діленні на 4 дає остачу 3. Отже, рівність 1987*993=х*х+у*у не виконується при жодних цілих значеннях х та у.
  2. Функція y=a|x|+b|x-k| перетворюється в нуль при х=-1 та при х=3 і має найбільше значення 2. Знайдіть параметри a, b, k.
    Розв'язання
    у(1)=у(3)=0. Звідси випливає, що |3-k|=3*|1+k| або b=0. Відповідь: а=-4/3, в=2/3, к=-3.

  3. Читати далі
10 клас
  1. На площині є а точок, причому кожні чотири з них є вершинами опуклого чотирикутника. Довести, що всі ці точки є вершинами опуклого многокутника.
  2. Знайти площу рівнобічної трапеції з основами 8 см і 10 см, якщо її діагоналі перпендикулярні.
  3. Знайти кути ромба, якщо площа вписаного в нього круга удвоє менша від площі ромба.

    Читати далі
11 клас
  1. Якщо в деякому натуральному числі, що не закінчується нулем, закреслити одну цифру, то воно зменшиться в ціле число разів. На якому місці може стояти цифра, яку закреслили.
  2. Якщо довжини сторін трикутника утворюють геометричну прогресію, а довжини відповідних висот - арифметичну, то цей трикутник є рівностороннім. Довести.
  3. Знайти мінімальний об'єм тіла, одержаного при обертанні рівнобічної трапеції, в яку вписано коло радіуса 1, навколо прямої, яка містить більшу основу.

    Читати далі