П`ятниця
26.04.2024
08:05

Персональний сайт учителя математики Миронової І.М.

Проект "Відсоткові розрахунки на кожний день"    

 

 

ІСТОРІЯ ВИНИКНЕННЯ ПОНЯТТЯ «ВІДСОТОК»

Слово «відсоток» походить від латинського слова pro centum, що буквально означає «від сотні», або «від ста». Відсотками дуже зручно користуватися на практиці, оскільки вони виражають частини цілих чисел в одних і тих самих, сотих частинах. Це дає можливість спрощувати розрахунки і легко порівнювати частини між собою і з цілими величинами.

Ідея вираження частин цілого в одних і тих самих долях викликана через практичні міркування. Ця ідея виникла ще в давнину у вавилонян, які користувалися шістдесятковими дробами. У клинописних таблицях вавилонян містяться завдання на розрахунок відсотків. До сьогодні дійшли складені вавилонянами таблиці відсотків, які дозволяли швидко визначити суму відсоткових грошей.

Грошові розрахунки з відсотками були особливо поширені в Стародавньому Римі. Римляни називали відсотками гроші, які платив боржник позикодавцю за кожну сотню. Від римлян відсотки перейшли до решти народів.

У середні віки в Європі через стрімкий розвиток торгівлі багато уваги приділяли вмінню обчислювати відсотки. Окремі контори і підприємства з метою полегшення праці під час обчислення відсотків розробляли свої особливі таблиці, які становили комерційну таємницю фірми.

Уперше опублікував таблиці для розрахунку відсотків 1584 року Симон Стевін — інженер з міста Брюгге (Нідерланди). Стевін відомий різноманітністю наукових відкриттів, зокрема відкриттям особливої форми запису десяткових дробів.

Тривалий час під відсотками розуміли виключно прибуток і збиток на кожні 100 грошових одиниць, їх застосовували тільки в торгових і грошових угодах. Згодом межа застосування відсотків розширилася, сьогодні їх використовують у господарських і фінансових розрахунках, статистиці, науці, техніці тощо.

Знак % походить, як вважають, від італійського слова сепїо (сто), яке у відсоткових розрахунках часто писали скорочено сіо. Звідси шляхом подальшого спрощення і заміни в скоропису букви і на похилу риску виник сучасний символ для позначення відсотка.

Існує й інша версія виникнення цього знака. Начебто він виник у результаті безглуздої помилки, припущеної складачем. 1685 року в Парижі було опубліковано книгу — посібник комерційної арифметики, де помилково замість сіо він надрукував % .

Іноді застосовують і більш дрібні, тисячні частини, так звані «проміле» (від латинського рго тіїїе — «від тисячі»). їх позначають, за аналогією з відсотками, знаком %о .

ДЕ МИ ЗУСТРІЧАЄМО ВІДСОТКИ?

Спочатку відсотки використовували тільки для фінансових операцій (прибутки з капіталу, сплата внесків, касові операції). Але згодом вони знайшли широку сферу застосування. Їх використовують для характеристики виконання виробничих планів, визначення зростання чи зниження продуктивності праці, режиму економії, собівартості та якості продукції. У відсотках ми виражаємо вологість повітря, жирність молока, вміст солі у розчині, кількість відсутніх/присутніх учнів у класі тощо. Вілсотки використовуються у шкільних курсах, зокрема у математиці та фізиці - під час обчислення відносної похибки вимірювання, у хімії для обчислення концентрації розчинів.

По телебаченню, радіо чи в Інтернеті можна часто зустріти інформацію на зразок: у виборах узяли участь 63,9% виборців, рейтинг переможця хіт-параду становить 82%, банк нараховує 10% річних тощо. Очевидно, що без розуміння такої інформації в сучасному суспільстві було б важко існувати. Тому знання відсотків та загальні навички розв'язування типових задач на відсотки необхідні кожній людині.

 

ЯК РОЗВ'ЯЗУВАТИ ЗАДАЧІ НА ВІДСОТКИ?

Для розв'язування задач на відсотки слід уміти записувати будь-яке число у вигляді відсотка і розв'язувати обернену задачу - виражати відоме число відсотків у вигляді дробового чи цілого числа. Для цього слід просто пам'ятати, що 1% - це сота частина числа. Наприклад, 45%=0,45, а 0,3=30%.

Для найпростіших задач на відсотки уведемо таке позначення: х - деяка величина, що приймається за 100% (ціле), у - її частина, яка виражається числом відсотків р%. Залежно від того, що невідоме - х, у чи р, найпростіші задачі на відсотки можна розділити на три види:

• знаходження відсотка від числа  (р% від числа а дорівнює р/100*а);
• знаходження числа за його відсотком (якщо р% від деякого числа становить в, то все число дорівнює в:р/100);
• знаходження відсоткового відношення двох чисел (число а становить а/в*100% від числа в).

Іноді для розв'язування задач на відсотки складають пропорцію:  

х - 100%

у - р%

Часто припускаються поширеної помилки - збільшення числа на р відсотків розуміють як збільшення на р. Але ж якщо число а збільшили, наприклад, на 30%, то це означає що воно збільшилося у 1,3 рази (а+0,3а=1,3а).

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача 1 (знаходження відсотка від числа)

У класі 28 учнів. У похід пішли 25% учнів класу. Скільки учнів пішло в похід?

25%=0,25;     28*0,25=7 (учнів)

Відповідь: у похід пішло 7 учнів.

Задача 2 (знаходження числа за його відсотком)

Сьогодні у класі відсутні 2 учні, що становить 10% учнів класу. Скільки учнів у класі?

10%=01;      2:0,1=20 (учнів)

Відповідь: у класі 20 учнів.

Задача 3 (знаходження відсоткового відношення двох чисел)

Довжина дороги дорівнює 30 км. Відремонтували 15 км. Скільки відсотків дороги відремонтували?

15:30=0,5;      0,5=50%

Відповідь: відремонували 50% дороги.

Задача 4

Ціну товару спочатку знизили на 20%, потім нову ціну знизили ще на 15% і, нарешті, після перерахунку провели зниження ще на 10%. На скільки відсотків знизили початкову ціну?

Розв'язання

Цю задачу уже не можна віднести до розряду найпростіших. Розв'яжемо її арифметичним способом, не складаючи рівняння.

1. Нехай х грн - початкова ціна товару.
2. Після першого зниження ціна товару дорівнюватиме: х - 0,2х = 0,8х грн.
3. Після другого зниження: 0,8х - 0,15*0,8х = 0,68х грн.
4. Після третього зниження: 0,68х - 0,1*0,68х = 0,612х грн.
5. Отже, ціна товару знизилася на: х - 0,612х = 0,388х або на 38,8%.

Відповідь: на 38,8%.

 

ФОРМУЛИ ПРОСТОГО ТА СКЛАДНОГО ВІДСОТКОВОГО ЗРОСТАННЯ

Якщо людина своєчасно не вносить плати за що-небудь, то на неї можуть накласти штраф - пеню. Припустимо пеня складає 1% суми плати за кожний день прострочення. Тоді, наприклад, за 20 днів прострочення сума пені складе 20% суми плати. Зі 100 грн людина повинна буде внести пеню 100*02=20 грн, тобто всього заплатити 120 грн. 

Звичайно, сума сплати, час прострочення і пеня різні залежно від ситуації. Тому виникає необхідність скласти формулу оплати, яку можна використати за різних обставин.

Позначимо: S - щомісячна плата, р% - пеня, п - кількість прострочених днів. Тоді пеня, яку людина має сплатити за прострочення, складе пр% від S, тобто 0,01рпS, а всього людині доведеться сплатити S+0,01рпS=S(1+0,01рп). Таку ж формулу використовують і у банках, якщо деяка величина збільшується або зменшується на однакову кількість відсотків за кожний фіксований період часу. Цією формулою описують багато конкретних ситуацій і називають її формулою простого відсоткового зростання:

Sп=S(1+0,01рп)

Задача. За якої відсоткової ставки на місяць вклад на суму 1000 грн збільшиться за рік до 1600 грн?

Розв'язання. Використаємо формулу простого відсоткового зростання: 1600=1000*(1+0,01*12р), звідки р=5. Отже, відсоткова ставка повинна становити 5% на місяць.

У банках для деяких видів вкладів (так званих термінових вкладів, які не можна взяти раніше відведеного терміну) прийнято таку систему нарахування: за перший рік перебування вкладеної суми нараховується, наприклад, 20% від неї. Якщо наприкінці року вкладник не зняв з рахунку ці гроші - "проценти" як їх звичайно називають, то вони приєднуються до вкладеної суми і наприкінці другого року 20% нараховуються уже із збільшеної суми. У цьому випадку відсотки нараховуються на відсотки. Через п років сума внеску дрівнюватиме:

S_п=S*(1+0,01р)^п.

Ця формула називається формулою складного відсоткового зростання. Відмінність простого відсоткового зростання від складного відсоткового зростання полягає у тому, що за простого зростання відсоток кожного разу обчислюють, виходячи з початкового значення величини, а за складного зростання відсоток обчислюється від попереднього значення. 

Задача. Початковий внесок у банк становить 300 грн, за рік нараховується 3%. Знайдіть суму внеску через 5 років.

Розв'язання. Використаємо формулу складного  відсоткового зростання: S=300*(1+0,01*3)⁵=348 грн.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1.  Що називають відсотком?

2.  Як знайти 1 % від числа? Наведіть приклади.

3.  Скільки відсотків відповідає всій величині?

4.  Як, використовуючи поняття «відсоток», сказати, що: 1) фермер зібрав весь урожай; 2) усі учні присутні в класі; 3) усі дні цього тижня будуть сонячні?

Задачі

1) Нарисуйте квадрат зі стороною 10 клітинок зошита. Зафарбуйте 1 % квадрата.

2) Нарисуйте квадрат зі стороною 2 см. Зафарбуйте 100 % квадрата.

3) На пасовиську було 100 тварин: 39 телят, 52 вівці, а решта — кози. Скільки відсотків від усієї кількості тварин становлять телята, вівці і кози?

4) Стадіон розрахований на 25 000 місць. За першу годину було продано 1 % усіх квитків. Скільки квитків було продано за першу годину?

5) Тато одержав премію і 1 % премії витратив на подарунки дітям. Скільки гривень становить премія тата, якщо на подарунки він витратив 80 грн?

6) У кінотеатрі зайнято 90 % місць. Скільки відсотків місць залишаються вільними?

7) У саду ростуть яблуні, груші і вишні. Яблуні становлять 52 % усіх дерев саду, груші — 25 % . Скільки відсотків усіх дерев саду становлять вишні?

8) 25 % усіх учнів класу захоплюються рок-музикою, 35 % — приваблює реп, а решті подобається поп-музика. Скільки відсотків учнів класу становлять прихильники поп-музики? Прихильників якого музикального стилю серед учнів класу найбільше? найменше?